岳　舜　琳
（上海市自來水公司科研室）

　　一般生產濾池采用非均勻砂層。計算其最佳膨脹率應使截泥最大的表層砂獲得最大沖洗功率，即孔隙比達到0.74，從而取各層的平均值。可求得某一砂層的最佳膨脹率為52%，而粒徑較大的砂層則可小些。
　　建議設計濾池沖洗水強度時，以表層砂孔隙比達到0.74為準。
　　快濾池用于公共給水，約有一百多年的歷史，但是設計和運行多半憑經驗，而其中濾池沖洗強度及最佳膨脹率為國內外研究濾池的重要課題。
　　本文從顆粒材料水力學的觀點出發，提出濾池沖洗時，沖洗水所提供的沖洗功，從而求得濾層最佳孔隙比及最佳膨脹比（率），以與國內外同行探討。

　　一、濾層沖洗時水力學流態

　　沖洗水由下而上流經濾層時，實質上是一種反向過濾，開始為砂層逐步膨脹，污濁水開始流出的擠壓出流階段；當沖洗水達到一定流速后，濾層膨脹，砂粒懸浮于水中，處于一種不停地運動的動平衡狀態，即達到固定膨脹階段，此時砂粒表面被水流沖刷，砂粒之間互相碰撞，小顆粒在上面，大顆粒在下面。沖洗水流速愈大，濾層膨脹率愈大。
　　上升流速——對于均勻顆粒砂層.MHHH曾得出流速v與濾層孔隙比m的關系式。
　　　　　　Re=Pwvd/6μ(1-m)a　　　　　　　　(1)
　　　　　　n=Pm3d/LPwv26(1-m)a　　　　　　　(2)
　　通過實驗求得：
　　　　　　n=A/Re0.7　　　　　　　　　　　　　(3)
　　式中：
　　a——砂粒形狀系數（砂為1，煤為1.31）
　　Pw——水的密度(g/cm3)
　　d——粒徑(cm)
　　μ——水的粘滯系數（g/cm·s）
　　m——砂層孔隙比
　　P/L——單位厚度砂層水壓降（g/cm2·s2）
　　A——常數（砂層3.73，煤層5.90）
　　a——濾層阻力系數
　　Re——雷諾數
　　L——濾層厚度(cm)
　　對于懸浮砂層
　　　　P/L=(Ps-Pw)g(1-m)　　　　　　　　(4)
　　g——重力加速度(cm/s2)
　　Ps——砂的密度(g/cm3)
　　將(1)，(2)，(4)式代入(3)式，得沖洗水上升流速表達式：
v=(g/A61.7)0.77
　　　(Ps-Pw)0.77d1.31m2.31/a1.31Pw0.23μ0.54(1-m)0.54(cm/s)　　　(5)
　　砂粒對水的阻力[1]——沖洗水以流速v/m通過懸浮均勻砂層，受到來自砂粒的阻力。單位砂層厚度水壓降P/L即等于單位體積懸浮層的阻力。
　　單位體積懸浮砂層中砂粒數
　　　　　　N=6(1-m)/πd3　　　　　　　　　(6)
　　每一砂粒的阻力為
　　　　　Fφ=P/LN=Pπd3/L·6(1-m) (g·cm/s2)　　　(7)
　　從(2)式可知
　　　　　P/L=n·Pwv2·6(1-m)a/m3d　(g/s2·cm/s2)　　(8)
　　將(8)式代入(7)式得
　　　　　Fφ=n·Pwv2 d2πa /m3　(g·cm/s2)　　(9)
　　將(3)式代入(9)式，懸浮砂層中每一粒砂砂對水的阻力
　　　　　Fφ=3.73×60.7·μ0.7(1-m)0.7Pw0.3 1.3πd1.3a1.7/m3　　　　(10)
　　水對砂層所作沖洗功——沖洗水克服阻力Fφ，并以相對流速v/m流過砂粒，則水對單位體積膨脹砂層作所作之功率為：
　　　　　Ws=Fφ·v/m·N　　(g/s3·cm)　　　　　　　(11)
　　　　　　=6920·(Ps-Pw)1.771d1.313·m1.313(1-m)0.458/a1.313Pw0.229μ0.542　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)
　　當水溫為20℃，μ=0.010，Ps=2.65,Pw=1.00時
　　　　　Ws=203000d1.313m1.313(1-m)0.458
　　這是唯一的功率，賦予砂粒的動能，使砂粒懸浮并保持一定的空隙比，使砂粒不停地（平移和旋轉）運動，砂粒被沖洗清潔，此外無其他能量來源。
　　從這一沖洗功率可以算出水流的時均流速梯度G

　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)

　　單位時間內，單位體積懸浮砂層砂粒之間的碰撞次數為
　　　　　|N|=4/3·N2Gd3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(14)
　　［注］此式僅適用于層流流態。濾池沖洗時水的流態屬過渡區，故此式不適用。然而作為定性地說明問題也還是可以的，與本文的論點及數學推導無關。
　　可見最大功率賦予沖洗中的砂層以最大的沖洗流速梯度及砂粒之間的碰撞次數，無疑將有最好的沖洗效果。
　　最佳孔隙比——對應于一個最佳砂層孔隙比，將有一個最大沖洗功率，并由下列條件決定。
　　　dWs/dm=0　　　　　　　　　　　　　(15)
　　　-0.458m+1.313(1-m)=0　　　　　　　(15’)
　　因之最佳孔隙比
　　　mop=0.741　　　　　　　　　　　　(16)
　　與之相應的最大沖洗功率
　　　Ｗs=73700d1.313　　　　　　　　　(17)
　　當d=0.0343cm時，沖洗功率W，隨孔隙比變化的曲線見下圖。

　　二、最佳膨脹比（率）

　　若砂層的原有孔隙比m0=0.40，則均勻顆粒濾層沖洗時的最佳膨脹率應為：
　　　　　Eop=e×100=m-m0/1-m×100
　　　　　　　=0.74-0.40/1-0.74=130%　　　　　　　(18)
　　一般生產濾池都采用非均勻顆粒濾層，最佳膨脹率應按砂層組成，分層計算而加和之。
　　Ｅop=∫p=100
∫p=0　　　m-m0/1-mdP%　　　　　　　　(19)
　　或
　　Eop=Σm1-m0/1-m1·△P1　　　　　　　　　　(19’)
　　式：△P1——砂層組成百分率
　　　　　m1——砂層孔隙比
　　按照濾池表面10～15cm的砂層截泥最大這一普遍現象，沖洗時，表面砂層的砂粒或者說最小砂粒，應使其膨脹后孔隙比達到0.74，即達到最佳數值。非均勻砂層膨脹后，最小粒徑砂層孔隙比達到0.74時，整個砂層的膨脹率為最佳膨脹率，使最小粒徑dm的砂層孔隙比mm達到0.74的沖洗水流速，可按(5)式計算，而在同一沖洗流速下不同粒徑砂層孔隙比亦可因之而求得。從(5)式
　　　　dm1.31·mm2.31/(1-m)0.54=d1.31·m2.31/(1-m)0.54　　　　(20)
　　在同一沖洗流速v=1.52cm/s(15.2L/S·m2)下，兩不均勻顆粒濾層膨脹后的孔隙比m，膨脹比e，沖洗功率W，時均流速梯度G，砂粒碰撞數∣N∣見下表。
　　從下表可見，粒徑小的濾層，最佳膨脹率為51.8%。粒徑大的濾層，最佳膨脹率為40.5%。砂層組成決定最佳膨脹率大于、等于或小于50%。使最小粒徑砂層孔隙比達到0.74有決定性意義，建議設計濾池沖池強度以此為準。

　　三、討論和推論

　　1.沖洗時間
　　截留于一個單位體積濾層的泥量為б，對于膨脹濾層單位體積截泥比бexp為
　　бexp=б/1+e=1-m/1-m0·б
　　式中：
　　　　б——截泥比，截泥體積和砂層體積之比。
　　　　e——砂層膨脹比。
　　顯然，沖洗功應與截泥量成正比：
　　W=Wst=Fφv/m·Nt=k·(1-m)/(1-m0) б　　　　　　(21)
　　式中：
　　　　t——沖洗時間(s)
　　　　k——比例常數，隨水，水中懸浮物和砂粒三者的物理化學特性而定。它的大小表示水中懸浮物與砂粒結合的牢固程度，結合力的大小，并受到所用混凝劑、助凝劑的性質及劑量的影響。
　　　　T=б/(1-m0)·k(1-m)／Fφ·v/m·N　　　　　　(22)
　　將(12)式代入(22)式并乘以(5)式，將m以外各參數合并為B，可得
　　　　Q=vt=Bm　　　　　　　　　(23)
　　Q為單位面積砂層沖洗用水量，與砂層膨脹后的孔隙比成正比（見前圖）。表層孔隙比愈大，沖洗用水愈多，孔隙比超過0.74，沖洗水量增加，沖洗功率反減少。從經濟角度看0.74是上限，下限視(22)式中k值的大小來決定。
　　應在選定沖洗強度下，使表層砂沖洗清潔所需時間為決定沖洗時間。如沖洗前已知表層砂的截泥比б，通過試驗，按(22)式可求得k值。
　　2.濾池池型
　　濾池截留水中懸浮物，從上到下砂層截泥逐漸減少。下部沒有能發揮其凈水作用，而沖洗砂層時，沖洗水對它所作的沖洗功率卻很大，這是普通濾池存在的一個矛盾。雙向濾池，雙層濾池，反濾濾池在不同程度上解決了這一矛盾。但必須使底部砂層充分懸浮，這是易于忽略的。其原因可能是反向濾池底層和雙向濾池下層下易沖洗清潔的緣故。
　　本文所討論的理論對無煙煤濾池或雙層濾池也是適用的。