均質濾料過濾過程的毛細管去除濁質模型
景有海1，金同軌1，范瑾初2
（1.西安建筑科技大學 環境與市政工程學院，陜西 西安 710055；2.同濟大學 環境科學與工程學院，上海 200092）
摘要：通過將粒狀材料組成的濾床抽象為由無數條毛細管道組成的管束，將過濾過程描述為水流在毛細管道中流動時的管壁吸附過程，從而推導出了均質濾料過濾過程的濁質去除數學模型。
關鍵詞：均質濾料；過濾過程；毛細管模型；過濾方程
中圖分類號：TU991.24
文獻標識碼：A
文章編號：1000-4602(2000)06-0001-04
Capillaries Model for Turbidity Removal in Filtration Process with Uniform Media
JING You hai1，JIN Tong gui1，FAN Jin chu2
(1.School of Environ. and Munic. Eng., Xi‘an Univ. of Architec. and Tech., Xi’an 710055,China; 2.School of Environ.Sci.and Eng.,Tongji Univ.,Shanghai 200092, China)
? Abstract：based on simulating the granular filter bed as tubes formed by numerous cylindrical capillaries, this paper described filtration tube wall adsorption process when water was flowing in capillaries. results, a mathematical model of turbidity removal with uniform media deduced.?
Keywords: uniform media;filtration;capillaries model;filtration equation
基金項目： 國家自然科學基金資助項目(59778022)
1.均質濾料過濾過程的毛細管模型
由粒狀材料組成的濾床，內部有無數孔隙通道。水流通過濾層的過濾過程，就是水流在濾床孔隙內的流動過程。因此，可將濾床看成是有無數條毛細管道組成的管束，過濾過程就是水流在這些毛細管道中的流動過程。為了使水流在毛細管道中的過濾條件與實際濾床中的過濾條件相同，必須具備以下兩個條件：
① 毛細管道的總空間應與濾床的孔隙相同；
② 毛細管道的總表面積應與濾料的表面積相同。
假設濾池面積為F(m2)，濾床深度為L(m)，濾料的孔隙率為ε(m3孔隙/m3濾料)，濾料的比表面積為f(m2表面/m3濾料)；并假設單位面積濾池擁有毛細管數量為n(根/m2濾池)，毛細管的管徑為dm(m)。因此，根據上述兩條原則，將均質濾料濾床描述為毛細管模型時，必須滿足下列兩個等式：
ε＝n·πdm2/4 (1)
f＝n·πdm (2)
對于非球形級配濾料，其比表面積可表示為：
f=6α(1-ε)/de (3)
式中 α——濾料的表面形狀系數
de——濾料的當量直徑，m
聯解式（1）和式（2），并將式(3)代入可得：
dm=2εde/(3α(1-ε)) (4)
n=9α2(1-ε)2/πεde (5)
此即為筆者將濾池抽象為毛細管模型時的毛細管管徑和單位面積濾池擁有毛細管數量的計算公式。
2 過濾過程的濁質去除計算模型
取濾層中某一毛細管作為考查對象，在濾層深度z處取斷面1，并在深度z+dz處取斷面2，如圖1所示。
假設在時刻t,斷面1處的濁質濃度為c，過流斷面面積為ω，沉積在毛細管壁單位管長上的濁質體積量為σd(m3濁質/m管長），濾層的濁質比沉積量為σd(m3濁質m3濾料），則有：
σd=σ/n （6）
斷面2處的濁質濃度為：
，經過dt時段后，dz長度毛細管壁上的濁質增加量為：
水中濁質因被毛細管壁吸附后，其管壁附近濁質濃度降低，使得毛細管中心濁質與管壁附近出現濃度梯度。在濃度梯度的推動下，管中心濁質向管壁擴散，這種擴散包括面朗運動擴散和水力擴散。
式中 D——濁質的擴散系數，m2/s
rm——毛細管壁吸附濁質后的孔道半徑，m
因此，經dt時段的擴散量即沉積量為：
沉積在毛細管壁上的濁質，因水流的剪切力而被剝落下來，其剝離速率可認為與水流的剪切力和毛細管道的堵塞率成正比，即：
式中 B——濁質的剝離系數，m3/(N.s），與濾料的表面特性以及水中濁質顆粒的表面特性即混凝特性有關。混凝效果好，B值小，否則B值大。采用高分子混凝劑時，其B值就遠小于采用硫酸鋁作混凝劑時的B值
τ——水流的剪切應力，N/m2
μ——水的動力粘性系數，Pa.s
則其剝離量為：
式（12）即為本文作者推導出的均質濾料過濾過程的濾層堵塞方程式，式中濾速v的單位為m/s。
在濾層中取一毛細管作為考查對象，如圖2所示。由表層算起，毛細管長管為z，進入毛細管的濁質濃度為c0，從毛細管流出的濁質濃度為c。過濾從時間0開始，經過時段t過濾后，毛細管單位長度上的濁質吸附量σd，根據物料平衡有：
式（14）即為本文作者推導出的均質濾料過濾過程的連續性方程。式中c為過濾流體中的濁質何種濃度，其單位為（m3固體/m3液體）。顯然，c的最大值為1。當c=1時，表示過濾介質變為固體。在一般的流體過濾過程中，其注質濃度c＜＜1，則上式可簡化為：
式（16）和式（17）即為本文作者推導出的均質濾料過濾過程的毛細管去除濁質計算模型，即過濾方程。由式（12）和式（17）可以看出：當進水濁質濃度c=0、比沉積量σ≠0時，濁質的去除速率為正值，而比沉積量的沉積速率為負值。這說明水中濁質濃度增加，而比沉積量減小，它正好描述了反沖洗時的濾層清潔過程。因此式（12）、（15）和（17）不僅是過濾方程，同時也是濾層在不擾動情況下的反沖洗方程，這正好說明反沖洗過程是過濾過程的逆過程。
3 過濾方程式的簡化分析
方程（12）、（15）和（17）中，σ和c均為濾層深度z和過濾時間t的函數，即：
σ=σ（z，t) （18）
c=c(z,t） （19）
顯然，上述方程為二元二次函數一階非線性方程組，目前還難以求得其精確的解析解。現對其進行簡化分析和近似解答，更精確的解答要通過數值分析來求得。
3.1 濾層中的最大比沉積量
對于濾層堵塞方程式（12），當濾層截留濁質達到飽和時，有：
3.2 濾層失去除濁能力時所需過濾時間
對于濾層表層，當z=0時，有c=c0=常數，此時，濾層堵塞方程（12）變為：
dσi/dt=λ1c0-λ2[σi/(ε0-σi)]υ （25）
上式中，σi為z=0時的濾層比截污量。對止式積分并設過濾是從清潔濾層開始，當t=0時，σi=0，則有：
t=（λ2υε0/φ）ln[λ1υε0/（λ1υε0-φσi）+σi/φ （26）
當濾層即將失去除濁能力時，有σi→σmax=λ1υε0/φ，此時所需要的過濾時間為：
也就是說，在有限的過濾時間內，理論上濾層難以達到完全飽和，這在過濾試驗中已基本得到證實。因此，在實際應用中，當σ=95%σmax時，即可認為濾層已達到飽和狀態。此時所需要的過濾時間為：
3.3 濾層沿深度方向的比沉積量分布規律
由濾層堵塞方程，因σ/（ε0-σ）=u，得到：
對于式（28）右邊第二項，由于udt=dz，且有當t=0時z=z當t=t時z=z’，其z’為假設毛細管為無限長時，經過t時間段后，流體沿毛細管流行的距離，因此有
式（31）即為比沉積量沿濾層深度方向上的分布規律。
由式（12）和式（31）可得：
式中σi為濾層表層z=0處的比沉積量，它滿足方程（26）。由此可見，σ是過濾時間t和濾層深度z的函數。
由式（33）可以看出，在過濾過程中，濾層中的比沉積量沿深度方向近似按負指數規律衰減。提高濾速，則比沉積量衰減率減小，濁質向濾層深處穿透，比沉積量在濾層中的分布趨于均勻。混凝效果提高，λ2減小，比沉積量衰減率增大，表明濁質較易被表層截留。
由式(31)可以看出，
不可能為0(除非λ1＝λ2＝0)。因此，嚴格講濾層中不可能出現飽和階段。否則，從函數連續性角度考慮，比沉積量沿深度方向的變化必然出現拐點。但因其分布近似于負指數規律，不可能有拐點。另一方面，假如濾層中有飽和層出現，那么該濾層中將不會再有濁質截留，該段濾層的水頭損失也將不會再隨過濾時間的延長而增大。但在過濾試驗中并未發現這樣的階段出現。因此可以說，在過濾過程中，濾層中不可能有飽和階段出現。
4 結論
① 將均質濾料濾池描述為毛細管模型有助于簡化過濾過程的分析，其結論仍然可用。
② 在有限的過濾時間內，嚴格講，濾層中不可能出現飽和階段。
③ 濾層中的比沉積量近似按負指數規律分布。
參考文獻：
［1］許保玖，安鼎年.給水處理理論與設計［M］.北京：中國建筑工業出版社，1992.
［2］嚴熙世，范瑾初.給水工程［M］.北京：中國建筑工業出版社，1995.
［3］Ю·M·康士坦丁諾夫.水力學［M］.鐘用升譯.江西高校出版社，1990.
作者簡介：景有海(1962-)，男，陜西隴縣人，西安建筑科技大學副教授，碩士，主要從事水處理技術方面的教學和科研工作。
電話：(029)5234941
收稿日期：2000-01-23
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