俞國(guó)平
（同濟(jì)大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092）

　　摘要：討論了管網(wǎng)流量分配對(duì)給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，指出帶有樹枝網(wǎng)特征的流量分配形式在環(huán)狀給水管網(wǎng)設(shè)計(jì)中產(chǎn)生了較好的效果，研究了非線性最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流算法用于搜索最優(yōu)流量分配樹。
　　關(guān)鍵詞：流量分配；優(yōu)化設(shè)計(jì)；給水管網(wǎng)；最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流
　　中圖分類號(hào)：TU991.32
　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C
　　文章編號(hào)：1000-4602(2000)04-0031-03

　　在城市給水管網(wǎng)設(shè)計(jì)中，管道的流量分配會(huì)對(duì)設(shè)計(jì)流量產(chǎn)生重大影響。環(huán)狀給水管網(wǎng)由樹枝管道和余枝管道組成，樹枝管道構(gòu)成給水管網(wǎng)的樹枝形供水脈絡(luò)，余枝管道則形成供水回路。比較好的流量分配形式是管網(wǎng)中所有的余枝管道都應(yīng)取其需通過的最小流量值。然而在規(guī)模較大的給水管網(wǎng)中可以構(gòu)造出上百萬計(jì)的樹枝網(wǎng)數(shù)目，其中供水最經(jīng)濟(jì)的樹枝網(wǎng)稱之為最優(yōu)流量分配樹，在此基礎(chǔ)上分配給余枝管道以適當(dāng)?shù)淖钚≡试S流量，便產(chǎn)生了一種帶有樹枝網(wǎng)供水特征的環(huán)狀給水管網(wǎng)的流量分配形式，協(xié)調(diào)供水經(jīng)濟(jì)和安全的矛盾，取得較好的設(shè)計(jì)效果。

1 管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

　　當(dāng)管徑被取為設(shè)計(jì)變量時(shí)，給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)為：

　　

　　約束條件：
　　　Lh=0 　　A_q+Q=0
　　　h_i=k₃q_i^el_i/D_i^{3 　　　　D_i≥D_mini　　 i=1,2,...m_o}

　　通過水頭損失計(jì)算公式，把設(shè)計(jì)變量管徑D分解成管道流量q和管道壓降h，并略去常數(shù)項(xiàng)，于是原模型分解成下述兩個(gè)各有其意義的優(yōu)化模型。
　　模型 1

　　

　　約束條件：
　　Lh=0
　　h＞0

　　模型２：

　　

　　約束條件：
　　Aq+Q=0
　　q_i≥q_mini
　　式中　q--管道流量?
　　　　　h--管道壓降?
　　　　　l--管道長(zhǎng)度?
　　　　　Q--節(jié)點(diǎn)流量?
　　　　　n_s--水源個(gè)數(shù)?
　　　　　A--管網(wǎng)的銜接矩陣?
　　　　　L--管網(wǎng)的回路矩陣?
　　　　　H₀--控制點(diǎn)所需壓力標(biāo)高?
　　　　　P_i--控制點(diǎn)到第i個(gè)水源節(jié)點(diǎn)的某一指定方向的沿線管道集合。
　　　　　b、e?--管道造價(jià)系數(shù)
　　　　　α、β--水力摩阻公式中的系數(shù)
　　　　　k₁、k₂、k₃--與資金回收、電價(jià)、水泵效率等因素有關(guān)的常數(shù)

　　模型1表示管道流量已知條件下，對(duì)管道壓降h進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)以降低管道造價(jià)和運(yùn)行費(fèi)用之和。?
　　模型2表示在管道壓降不變時(shí)，對(duì)管道流量q進(jìn)行最優(yōu)分配計(jì)算以降低管道造價(jià)。
　　把上述兩個(gè)模型串聯(lián)起來協(xié)調(diào)地求解要比直接求解以管徑d為設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型容易得到逼近全域最優(yōu)解的局部解。計(jì)算步驟如下：
　　① 給定初始可行流量分配q⁰，求解模型1得到最優(yōu)壓降h^*；
　　② 保持h^*不變，求解模型2得到最優(yōu)流量分配；
　　③ 若q^*＝q⁰，計(jì)算終止，h^*、q^*為優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解；否則，令q^*→q⁰，轉(zhuǎn)入步驟①。

2 最優(yōu)流量分配樹的搜索

　　模型2改寫為：

　　

　　式中 　，是相對(duì)于第i 根管道流量的費(fèi)用權(quán)重，模型2的求解就是滿足節(jié)點(diǎn)流量平衡方程和流量界限約束的最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流，由于ea/β≠1，這是一個(gè)非線性網(wǎng)絡(luò)流問題。
　　在管道網(wǎng)絡(luò)中：管道被區(qū)分為樹枝和余枝，集合標(biāo)記分別為B和N，其相應(yīng)的管道流量分別為基本變量q^B和非基本變量qN，銜接矩陣也相應(yīng)被分為A_B和A_N，節(jié)點(diǎn)方程表示為：
　　A_Bq^B+A_Nq^N+Q=0 　　　　　　(1)
　　q^B=-A_B^-1A_Nq^N-Q　　　　　　(2)

　　式(2)表示余枝流量已知時(shí)，即可求出樹枝流量，獨(dú)立的決策比納涼是余枝流量qN，并且：

　　 　　　　　　(3)

　　為避免計(jì)算AB的逆陣，實(shí)際計(jì)算時(shí)引用切割組矩陣表達(dá)節(jié)點(diǎn)流量平衡方程：

　　(C_B/C_N)(q_B/q_N)+C_QQ=0 　　　　　　　(4)

　　以圖１所示管網(wǎng)為例，切割組矩陣可表示為：

　　

　　由于C_B為一單位矩陣，所以有：

　　對(duì)于模型２中的目標(biāo)函數(shù)，余枝流量的簡(jiǎn)約梯度可表示為：

　　

　　式(9)表示余枝流量q_j的單位變化所引起的目標(biāo)函數(shù)的變化。由式(8)可知q_i/q_j?可能為1、0或-1。當(dāng)初始可行流量分配確定后，計(jì)算每一回路(環(huán))的回路校正流量Δq，即可改變流量分配方案并仍然滿足流量平衡方程。
　　搜索最優(yōu)流量分配樹的最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流算法如下：
　　①確定初始可行的樹枝和余枝的區(qū)分，其指標(biāo)集分別為B和N，令q_j⁰=q_min,j∈N,得到初始流量分配q₀,0→k,k為迭代指標(biāo)。
　　②當(dāng)?shù)笜?biāo)為k時(shí)，q^k為當(dāng)前的流量分配，對(duì)所有余枝計(jì)算：

　　

　　③如果對(duì)所有余枝均有Rj≥0,計(jì)算終止，qk為最優(yōu)流量分配，否則令
　　φ=|j|Rj=max{Rj(Rj＜0,j∈N)}
　　在第φ個(gè)回路中，令：
　　△q=min{(q_i-q_min)}|i∈B,σi＜0}
　　Φ={i|(q_i-q_min)=△q}

　　④對(duì)第φ個(gè)回路中的所有管道，計(jì)算q_i^k+1=q_i^k+σ_iΔq,得到新的流量分配，在切割組矩陣中以第φ根余枝和第Ø根樹枝互相交換進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算，得到新的樹枝和余枝的區(qū)分集合，令k+1→k，轉(zhuǎn)入②。

3 結(jié)語

　　本文討論了管道流量分配方案對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，不同樹枝網(wǎng)的流量分配產(chǎn)生優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)差高達(dá)14%，而把非線性最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流算法用于尋找最小流量分配樹中得到了一定成功。每根管道的最小允許流量q_min的取值應(yīng)考慮管網(wǎng)安全供水的復(fù)核結(jié)果，目標(biāo)尚無有效方法確定q_min的取值，還需繼續(xù)研究。

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