岳　舜　琳

（上海市自來水公司）

　　摘要　聚丙烯酰胺作為高分子混凝劑對水中懸浮物的行為服從朗格茂等溫吸附式，并以架橋方式使水中懸浮物結成聚集體以擁擠沉降形式下沉，本文從上述兩個基本觀點出發(fā)，推導出聚丙烯酰胺處理高渾濁水時，混凝劑劑量與渾液面沉降速度的關系式：
　　　　　　C0.5/(V-V0)2-Z/4(1+Z)=A+BC　　　
　　從而求得最佳劑量與水中含沙量的關系式：
　　　　CO0.5=K0.5[mS　　　或　C0=K[2mS2
　　和最優(yōu)劑量與含沙量的關系式：
　　　　Cp0.5=0.61K0.5[mS　或　C p0.5=0.37K[2mS2
　　　　Cp0.5=0.5 1K0.5[mS　或　C p0.5=0.26K[2mS2
　　并通過試驗數(shù)據(jù)予以驗證，將試驗求得最優(yōu)劑量來指導生產。
　　

　　采用聚丙烯酰胺處理高渾濁水是我國西北地區(qū)水處理的重要手段。不少研究者證明，作為高聚物的聚丙烯酰胺投入水中之后，將吸附于水中懸浮物的表面，并服從朗格茂等溫吸附模型。聚丙烯酰胺以其分子鏈的一部分附著在懸浮顆粒表面一個或多個吸附位置上，而其余部分則延伸到水中，這些延伸段與另一些懸浮顆粒上尚有吸附能力的空間位置相接觸時，即完成架橋作用。于是懸浮顆粒聚集至一定大小的團粒，它的大小只受對系統(tǒng)的攪拌強度引起的剪切梯度和開始被吸附在顆粒表面上的聚合物的總數(shù)所控制；如果吸附位置被很多高分子聚合物鏈段占去，就將妨礙架橋作用的進行；如果全部吸附位置被占去，架橋作用就完全終止。相反，如果僅少數(shù)吸附位置被占去，架橋作用就將難于抵抗由于攪拌所產生的剪切刀。
　　西北地區(qū)高渾濁水泥沙含量極大，有時達300kg/m3以上，但其中85%以上粒徑大于5μ，易于被聚丙烯酰胺（以下簡稱PAM）所吸附，生成大的聚集體，加速其沉降。由于微小的泥粒，有一定的凝聚穩(wěn)定性，不易被吸附，故澄清水有較高的剩余濁度。若同時加入無機混凝劑進行脫穩(wěn)，則澄清水濁度可得到改善。PAM系非電性混凝劑，經部分水解后成為陰離子型混凝劑（簡稱為HPAM），可提高其混凝效果。本文僅就HPAM劑量與泥沙沉速的關系進行分析探討。

一、HPAM劑量與泥沙沉速的關系

　　高渾濁水中泥沙的沉降與單個顆粒泥沙的沉降不同，它是以清渾水交界面（渾液面）向下沉降的形式進行的。分為四個階段。第一階段為加速沉降；第二階段為等速擁擠沉降；第三、第四階段為壓擠沉降。這里主要討論等速擁擠沉降階段的沉降速度，它是決定處理效果的主要技術參數(shù)。
1.泥沙吸附混凝劑后的表面復蓋率
　　前已述及泥粒表面吸附混凝劑的數(shù)量與水處理效果有很大影響，并符合朗格茂等溫吸附式。現(xiàn)將吸附的數(shù)量用復蓋率表示。按朗格茂等溫吸附式：
　　　　Ce/Ca/S=1+KCe/[mK=1/ mK +Ce/[m　　　　　　　　(1)
　　式中：Ce——PAM在水中的平衡濃度；
　　　　　Ca——吸附于泥沙表面上的HPAM濃度；
　　　　　S——泥沙濃度；
　　　　　[m——泥沙的飽和吸附量；
　　　　　K——平衡常數(shù)。
　　　　加入的HPAM劑量
　　　　　　C=Ce+Ca　　　　　　　　(2)
　　　　泥沙表面的復蓋率
　　　　　　θ=Ca/[mS　　　　　　　(3)
　　利用一些數(shù)學上的運算，可以得到加入混凝劑后，水中泥沙表面復蓋率與劑量的關系式：
　　　　　　θ=C／1+K[mS/K+C/1+ K[mS　　　　　(4)
　　以及
　　　　　　1-θ=1+ K[mS /K／1+K[mS／K+C/1+ K[mS　　　　　　　(5)
　　最后可得
　　　　　θ(1-θ)=(1+ K[mS /K)C／(1+ K[mS /K+ C/1+ K[mS)2　　　(6)
　　(4)、(5)式的詳細推導見文獻［略］
　　存在一個最佳復蓋率θ0，在此復蓋率下，顆粒最大，沉速最快。按照前述理論，最佳復蓋率應為θ0=0.5。故與生產有關而需要研究的θ值范圍為0～0.5。在推導(4)、(5)、(6)式的過程中，做了一些數(shù)學上的近似簡化處理，在復蓋率小于0.5（生產上實際的復蓋率遠小于0.5）的條件下，沉速測定的精度范圍內，事實證明這些近似簡化處理是可以允許的。
2.聚集體的粒徑
　　在一定的攪拌條件下，部分吸附了混凝劑的泥沙相互撞碰凝并，生成聚集體的速率為：
　　　　df/dt=k1n20θ(1-θ)　　　　　　　　　(7)
　　n0為水中泥沙的原始顆粒數(shù)，n0θ則代表吸附了混凝劑具有絮凝活性表面的數(shù)量，n0(1-θ)則代表未被混凝劑復蓋而能與n0θ部分發(fā)生架橋的表面數(shù)量。
　　在一定的攪拌條件下，生成的聚集體受到攪拌造成的剪切力的影響，又會破碎。此種聚集體的破碎速率與已生成的聚集體的質量或體積成正比，與其表面積及泥沙表面的復蓋情況θ(1-θ)成反比。
　　若已生成的聚集體的半徑為R，則體積
　　　　　　V=4/3·πR3
　　面積A=4aπR2（a為形狀系數(shù)，其意義為聚集體面積與體積相同的園球的面積之比。）
　　故聚集體破碎的速率
　　　　　df/dt=k’2·4/3·πR2/4aπR2θ(1-θ)　
　　　　　　　　==k2·R3/R2θ(1-θ)　　　　　　　　　(8)
　　聚集體生成的凈速率為：
　　　　　　df/dt= k1n20θ(1-θ)- k2R3/R2θ(1-θ)　　　(9)
　　當達到平衡狀態(tài)時，df/dt=0
　　　　　　k1n20θ(1-θ)= k2R3/R2θ(1-θ)
　　　　　　R= k1/ k2·n20θ2(1-θ)2　　　　　　　　　(10)
　　n0與水中含沙量S成正比，即n0 =k3S
　　　　　　R= k1/ k2·K23S2θ2(1-θ)2　　　　　　　　(11)
　　或　　　R= ＫS2θ2(1-θ)2　　K= k1/ k2·K23　　　　(11＇)
　　此即為在一定混凝劑劑量，一定攪拌條件下生成的聚集體的半徑。
3.泥沙沉速與劑量的關系
　　室內試驗可觀察到高渾濁水經混凝劑處理后，聚集體的顆粒基本上是均勻的，且在水中仍舊以渾液面形式下沉。此沉速與懸浮澄清池懸浮層中水的上升流速相等，屬于均勻顆粒等速擁擠沉降的范疇。在一定的水溫下，當泥沙的物理化學性質，泥沙濃度和混凝劑性質不變時，均勻顆粒等速擁擠沉降的沉速V與粒徑的關系式推導如下：
　　令η為沉降阻力系數(shù)，Re為雷諾數(shù)，
　　η=Pm3d/6LPwV2a(1-m),
　　Re=PwVd/6aμ(1-m)
　　試驗證明[3]：η=A/Rze
V=(Ps-Pw)1/2-zg1/2-zm3/2-zd1+z/2-z／　A1/2-z 61+z/2-z uz/2-z (1-m) z/2-zPw1-z/2-z
　　上式中：P/L單位厚度均勻顆粒懸浮層水壓降；
　　　　　　Ps,Pw——聚集體和水的密度；
　　　　　　g——重力加速度；
　　　　　　m——聚集體在水中的孔隙比；
　　　　　　d——聚集體粒徑；
　　　　　　A——常數(shù)；
　　　　　　μ——水的粘滯系數(shù)；
　　　　　　a——聚集體的形狀系數(shù)；
　　　　　　z——指數(shù)。
　　當Re<0.9時，為層流流態(tài)，z=1；
　　當0.9<Re<35.5時，z=0.7。
　　合并除d以外各項令為φ，
　　　　則　V=φd1+z/2-z　　　　　　　　　　(12)
　　故當Re<0.9時，z=1，V=φd2　　　　　　　(12-1)
　　當Re>0.9<35.5時，z=0.7，V=φ2d1.31　　　(12-2)
　　或者V=φ’R1+z/2-z　　　　　　　　　　　　(12-3)
　　　　　V/V0=R1+z/2-z／R01+z/2-z　　　　　　(13)
　　式中：R0——絮凝前泥沙的平均顆粒半徑；
　　　　　V0——絮凝前泥沙的擁擠沉降速度。
　　故：
　　V-V0/V0=R1+z/2-z- R01+z/2-z／R01+z/2-z　　　　　　　　(14)
　　按(11＇)式，于不加混凝劑時，θ=0，R趨近于0，而實際上為R=R0。故(11’)式應予校正。從(13)式，當V=V0時，
　　R1+z/2-z= R01+z/2-z=K1+z/2-z·S2(1+z/2-z)·θ2(1+z/2-z) ·(1-θ) 2(1+z/2-z)　　　　(15)
是合理的。因而
　　V-V0=V0/R01+z/2-z·K1+z/2-z·S2(1+z/2-z)·θ2(1+z/2-z) ·(1-θ) 2(1+z/2-z)　　　(16)
　　將(6)式代入(16)式，并令
　　β＝V0/R01+z/2-z·K1+z/2-z·S2(1+z/2-z)(1+K[mS/K) 2(1+z/2-z)
　　可得：
　　　　V-V0=BC2(1+z/2-z)／(1+ R[mS/K+C/1+K[mS) 4(1+z/2-z)　　　　(17)
令
　　1+K[mS/β1+z/4(2-z)· K=A,
　　1/β1+z/4(2-z) ·(1+K[mS)=B
　　于最大沉速劑量時，V有極大值dv/dc=0，故最大沉速劑量：
　　C0=[1+k[mS]2/K　　　　　　　　　(20)
　　C0=A/B　　　　　　　　　　　　　(21)
　　當Re<0.9 , z=1時，
　　　　　C0.5/(V-V0)0.125=A+BC　　　　　(18＇)
　　當0.9<Re<35.5，z=0.7時，
　　　　　C0.5/(V-V0)0.191=A+BC　　　　　(18＂)
　　為驗證(18)，(20)或(21)式，在一只600mL細口量筒中，注入含沙量為40kg/m3的水樣，加入已積壓水解度的部分水解的聚丙烯酰胺HPAM，顛倒五次，直立靜置測定渾液面沉速。半小時后測定一半高度以上水的濁度。結果見圖1，圖2。
　　沉速大于5.0mm/s時，聚集體顆粒粒徑大于1mm，雷諾數(shù)Re>0.9，屬于過渡區(qū)，故按(18＂)式整理資料。圖中劑量以8.0%的PAM商品計算。（以下均同）。由圖可見，當劑量逐漸增加時，沉速逐漸加大，達到一個最大值后又逐漸減小。余濁與劑量的關系曲線則相反。存在一個最大沉速劑量，并且(17)式可寫成：
　　C0.5/(V-V0)·2-Z/4(1+Z)·A+BC　　　　　　　　　(18)
　　(18)式說明了沉速V，渾水含沙量S與混凝劑劑量C的關系。將(17)式取V對C的導數(shù)：
　　dv/dc=β·2(1+z)/(2-z)·C[2(1+z)/(2-z)-1] ·[1+K[mS/K+C/1+K[mS]-4(1+z/2-z) ·C2(1+z)/(2-z)·(1/1+K[mS)／[1+K[mS/K+C/1+K[mS] [4(1+z)/(2-z)-1]

　　

　　C0.5/(V-V0)0.191與C有直線關系。對于水解度為48.5%的HPAM，從圖1可求得A=4.00，B=0.0175，最佳劑量C0=228mg/L，對于水解度為35.8%的HPAM，A=2.00，B=0.0346，C0=58mg/L，測得的最大沉速劑量C0與計算值A/B基本相符。
　　一般高渾濁水處理中，投加HPAM的劑量遠小于最大沉速劑量。這里只用以證明最大沉速劑量是一個客觀存在。
　　(18)，(20)式表示渾水含沙量，劑量與沉速三者的關系，在推導過程中做了簡化。從簡化過程[2]可知兩式中與劑量相對應的復蓋率較實際復蓋率為大，因之(18)式與實測會發(fā)生偏離，劑量小時復蓋率小，偏離就小，劑量大時復蓋率大，偏離大。圖3系根據(jù)某水廠用HPAM進行高渾濁水試驗的數(shù)據(jù)，因為沉速都小于0.3mm/s，聚集體顆粒都小于1.0mm，故雷諾數(shù)小于0.9，屬于層流流態(tài)，故按(18’) 式計算整理。結果見圖4’。圖中每一直線代表一個含沙量水樣的沉速與劑量的關系。由圖可見，當含沙量小于130kg/m3時，劑量與含沙量之比值較小，即復蓋率較小，實測各點與(18’)式較符合。當含沙量為150 kg/m3時，劑量與含沙量之比值較大，即復蓋率較大時，實測各點與(18＇)式偏離較大，各點不在一直線上。因之(18)，(20)式適用于含沙量等于或低于130 kg/m3的高渾濁水。

二、原水含沙量與最大沉速劑量的關系

　　從(20)式可知　C0.50=1/K0.5+K0.5[mS　　　　　　　　(20＇)
　　即最大沉速劑量C0的方根與含沙量S應成直接關系。按圖4各直線的A.B值可求得各個C0值。將它與對應的含沙量S作圖5。連接各點基本上可得一直線。因K≥1，故直線的截距1/K0.5≤1，直線雖不通過原點，但可以認為實際上通過或接近原點，即截距可以忽略。
　　C0.50= K0.5[mS
　　或　　C0= K[m2S2　　　　　　　　　　　　　　　(20＂)

　　可見最大沉速劑量的方根與含沙量成正比，或最大沉速劑量與含沙量的平方成正比。圖5直線與實測點也有偏離，特別是含沙量在120 kg/m3以上時偏離較大。這同樣是推導中做了近似簡化的緣故。

三、最優(yōu)劑量及與含沙量的關系

　　從圖1，圖2，圖3可見，對于同一含沙量水樣，隨著HPAM劑量的增加，沉速劑量曲線成一個倒鐘形，曲線的頂點為最大沉速劑量下的沉速，曲線的兩旁有兩個拐點，在此兩點上的斜率為最大，即沉速隨劑量的變率最大。
　　大于最大沉速劑量，使沉速降低，生產上固然不會采用：即使沉速達最大值的最佳劑量，沉速過大，生產上也不需要。反之，第一拐點在生產上卻很有用，在此拐點的劑量下，沉速增加最大，這一拐點劑量，稱之為最優(yōu)劑量。現(xiàn)在求最優(yōu)劑量的表達式。
　　曲線拐點處，d2V/dC2=0。假定采用比最大沉速劑量小的劑量時，聚集體粒徑都小于1mm,Re≤0.9，Z=1。從(19)式可知：
　　d2V/dC2=β·(12C2(1+K[mS/K)-16 c3·(1+K[mS/K+ c/1+K[mS)-9β(4c3/K-4c3/ (1+K[mS/K)2)／((1+K[mS/K+ c/1+K[mS)10　　　　　　　　　　　　(22)
　　d2V/dC2=0時
　　β·(12C2(1+K[mS/K)-16 c3·(1+K[mS/K+ c/1+K[mS)-9β(4c3/K-4c3/ (1+K[mS/K)2)=0
　　或　5C2/(1+K[mS/K)2-10C/K+3(1+K[mS/K)2/ K2=0　　　　　　　　(23)
　　因　C0=(1+K[mS/K)2/K　　　　　　　　　　　　　　　　　　(20)
　　故C2-2C0C+0.6C20=0　　　C1=0.37 C0，C2=1.63 C0　　　　　(23＇)
　　當0.9<Re<35.5，從(19)式可知
　　d2V/dC2=β·[4.24C0.62(1+K[mS/K)2-18.9·C1.62/K+9.46C2.62·1/(1-K[mS/K)2]／(1+K[mS/K+C/1+K[mS) 7.21　　　　　(22-2)
　　d2V/dC2=0時，　C2-2C0C+0.45C20=0　　　　　　　　　　　(23＂)
　　C1=0.26C0，C2=1.74C0
　　C1相當于第一個拐點的劑量，C2相當于第二個拐點的劑量。C2無實用價值。為所求最優(yōu)劑量，并用Cp表示之，此最優(yōu)劑量的數(shù)值約為最大沉速劑量的1/3(Re≤0.9)到1/4(0.9<Re<35.5)。從圖1，圖2可見大體與實測值符合。
　　將Cp值代入(20＇)和(20＂)式，可得
　　Re≤0.9時，Cp0.5=0.61/K0.5+0.61K0.5[mS　　　　　　(24-1)
　　0.9<Re<35.5時，
　　Cp0.5=0.51/K0.5+0.51K0.5[mS　　　　　　　　　　　　(24-2)
　　或Re≤0.9時，Cp0.5=0.61/K0.5[mS　
　　或Cp=0.37K[m2S2　　　　　　　　　　　　　　　　　(24＇-1)　　
　　0.9<Re<35.5時，　Cp0.5=0.51K0.5[mS
　　或C＇p=0.26K[mS2　　　　　　　　　　　　　　　　　(24＇-2)
　　與最大沉速劑量一樣，最優(yōu)劑量的方根也和含沙量S成正比。(24＇-1)(24＇-2)兩式所表示的直線與圖5直線一樣，通過原點。
　　生產上應通過測定，求得不同含沙量水樣的最優(yōu)劑量，用以指導生產。以上推導是以泥沙粒徑組成及表面性質不變?yōu)榍疤岬模瑢嶋H上不可能每一次沙峰，泥沙粒徑組成及表面性質都一樣，因之生產上使用本文所討論的理論時，要考慮到這一點。
　　參考文獻（略）